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    目前，由于鉛酸蓄電池的經(jīng)濟性和技術(shù)成熟性，使其成為豐要的儲能設備。為了達到優(yōu)化蓄電池電力系統效率的目的，對蓄電池容量的實(shí)時(shí)監控必不可少。而由于蓄電池的非線(xiàn)性特性，反映其容量的關(guān)鍵參數荷電狀態(tài)(SOC)，作為電池的內特性不可能直接進(jìn)行測量。SOC數值只能使用工作電壓、電流等直接測量得到的外特性參數估算獲得。

    本文使用最優(yōu)估計理論建立蓄電池的動(dòng)態(tài)工作模型，實(shí)現蓄電池SOC的實(shí)時(shí)估算。該動(dòng)態(tài)模型被劃分為兩個(gè)部分：第一部分是蓄電池數學(xué)解析描述，即對蓄電池工作特性的開(kāi)環(huán)描述；第二部分是加入動(dòng)態(tài)過(guò)程的描述，實(shí)現蓄電池工作特性的閉環(huán)描述。對于蓄電池的解析模型，較為通用的方式是建立描述輸入輸出之間關(guān)系的數學(xué)模型，通過(guò)實(shí)驗來(lái)確定模型的某些參數，或者模型內部的某些狀態(tài)量。然而，僅僅使用開(kāi)環(huán)描述模型得到動(dòng)態(tài)輸出與實(shí)際的動(dòng)態(tài)情況常常存在偏差，這種誤差主要歸咎于測量過(guò)程中的異常偏差。當這種誤差出現時(shí)，只有閉環(huán)描述模型才能根據這些誤差對模型進(jìn)行調整。本文使用基于電化學(xué)理論的安時(shí)模型實(shí)現電池數學(xué)解析描述，而動(dòng)態(tài)過(guò)程描述則使用帶有自矯正能力的擴展卡爾曼濾波算法。

    1 基于電化學(xué)的安時(shí)模型

    普通的安時(shí)計量法使用下式估算蓄電池的SOC。

    式中：s(0)為初始時(shí)刻的蓄電池SOC數值，若從充滿(mǎn)開(kāi)始放電，其值可以設為1；s(t)為t時(shí)刻的SOC實(shí)時(shí)值；Q為蓄電池的標稱(chēng)容量；η為庫侖因子。通過(guò)調整庫侖因子可以滿(mǎn)足不同放電電流下的SOC計算。實(shí)際應用中，庫侖因子多通過(guò)試驗確定為常數或是關(guān)于放電電流I的函數。但是，蓄電池的標稱(chēng)容量不等于實(shí)際容量，且實(shí)際容量在使用中也會(huì )衰減。同時(shí)，確定庫侖因子過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，也會(huì )影響到安時(shí)估算的精度。為了對上述問(wèn)題進(jìn)行改進(jìn)，提高安時(shí)法 SOC估算的精度。本文使用電化學(xué)理論，構造新的基于安時(shí)法的SOC估算模型。

    1.1 電解液活性物質(zhì)濃度損失函數

    蓄電池內部電解液所含有的活性物質(zhì)，其濃度損失百分比可以表示為：

    式中：C*為初始濃度；C(t)為電解液中t時(shí)刻活性物質(zhì)的濃度；時(shí)間t的取值范圍[0，L]，L為放電總時(shí)間。

    當使用蓄電池一維的電化學(xué)模型，根據電化動(dòng)力學(xué)理論，最終可以得到電解液活性物質(zhì)濃度損失百分比函數：

    式中：v為反應中電子的數目；F為法拉利常數；A為電極的面積；D為擴散系數。

    1.2 電化學(xué)安時(shí)模型

    由于電解液的活性物質(zhì)濃度和電池的SOC成正比的關(guān)系，設比例系數為M，可以直接得出電池t時(shí)刻的SOC解析表達式：

    若考慮電流值為I的恒流放電過(guò)程，放電截止時(shí)ρ(L)1，則可以得到以下等式：

    對于給定的恒流放電集合{I*，*=1，2，…，n}，可以使用最小二乘法得到最優(yōu)的α、β參數，其中：

    得到模型參數之后，為方便模型的實(shí)際應用，使用積分的矩形近似方法改寫(xiě)(4)式，用以獲得離散時(shí)間上的近似遞推模型，在間隔周期△t足夠小的情況下，遞推模型可以寫(xiě)為：

    式中：sk表示k時(shí)刻的電池SOC的實(shí)時(shí)值；Ik表示k時(shí)刻的電池電流。對比式(1)的標準安時(shí)估算模型，可以發(fā)現 α等于電池的標稱(chēng)容量Q，庫侖因子則由β 和放電時(shí)間k△t決定。從電化學(xué)角度分析，表達式(7)的括號中的第二項表示蓄電池中無(wú)法使用的總電量，當β數值增加的時(shí)候，第二項趨向于零。因此，較大的β數值意味著(zhù)蓄電池可以被看作理想儲能元件，所有充電電量都可以完全通過(guò)放電過(guò)程釋放。這是因為大的β數值表明更快的擴散效應，蓄電池電解液中的活性物質(zhì)可以更快的到達電極的表面。反之，小的β數值表明蓄電池儲能損失大，大量的充電電量無(wú)法在放電過(guò)程中釋放。

    2 擴展卡爾曼濾波閉環(huán)估算模型

    改進(jìn)安時(shí)模型能夠較好地反應電池的動(dòng)態(tài)特性，但這種蓄電池SOC計算方式只是一種開(kāi)路的估算方式，存在著(zhù)傳統安時(shí)計量法的缺點(diǎn)，即對電流測量中的測量偏差十分敏感，某一個(gè)時(shí)刻出現的測量偏差，可以影響到該時(shí)刻后所有的SOC估算值。如果將估算模型構造成閉環(huán)反饋的模式，則可以自動(dòng)修正電流測量中的偏差，給出正確的SOC估算值。在(7)式遞推模型的基礎上，可以使用卡爾曼濾波器方法構造出具有閉環(huán)特性的電池SOC估算模型。

    首先將(7)式作為蓄電池SOC估算系統的狀態(tài)方程，蓄電池SOC為狀態(tài)量，蓄電池的工作電流作為系統的輸入。然后，利用蓄電池的工作電壓構造系統的觀(guān)測方程。

    蓄電池負載電壓與當前時(shí)刻蓄電池的開(kāi)路電壓(Vcc)之間的關(guān)系是：

    式中：R為蓄電池內阻。又由于Vcc和內阻都與其SOC有著(zhù)直接的關(guān)系，故可以使用關(guān)于sk的函數，得到卡爾曼濾波算法中的觀(guān)測方程：

    式中：uk表示k時(shí)刻的電池端電壓，則(7)式和(9)式組成了蓄電池SOC估算的卡爾曼濾波系統。確定(9)式的具體過(guò)程將在實(shí)驗部分詳細分析。

    卡爾曼濾波器問(wèn)題可以描述為：使用觀(guān)測量{I1，I2，…，Ik}和{u1，u2，…，uk}找到最優(yōu)的sk估算值?？柭鼮V波算法采用反饋控制的方法估算過(guò)程狀態(tài)：濾波器估算出過(guò)程中某一時(shí)刻的狀態(tài)，然后通過(guò)測量特定變量的方式獲得反饋。因此卡爾曼濾波器可分為兩個(gè)部分：時(shí)間更新方程和測量更新方程。時(shí)間更新方程負責及時(shí)向前推算當前狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差估算的值，以便為下一個(gè)時(shí)間狀態(tài)構造先驗估算。測量更新方程負責反饋，它將先驗估算和新的測量變量結合以構造改進(jìn)的后驗估算。具體算法如參考文獻所示。

    3 實(shí)驗驗證

    為考察前文提及的蓄電池SOC估算方法的可行性和有效性，本文以某同產(chǎn)6 V／4.5 Ah鉛酸蓄電池為例建立SOC估算模型，并分析該模型的估算精度。試驗通過(guò)可編程電子負載完成測試流程，通過(guò)高精度采集設備獲得待分析數據。

    3.1 確定電化學(xué)安時(shí)模型參數

    首先，通過(guò)一系列恒流放電數據確定電化學(xué)安時(shí)模型的內部參數。利用0.2、1、2、3 A四組恒流放電數據，如表1中黑體所示，采用最小二乘法計箅得到α、β參數值。電池始終從充滿(mǎn)狀態(tài)開(kāi)始放電，蓄電池輸出電壓衰減到5.4 V作為放電截止條件。

    經(jīng)計算得到：α=4.007、β=2.115，為了驗證模型的有效性，將如表1所示8組時(shí)間數據輸入到(6)式，計算出估算的放電電流值。從表1的實(shí)際值與估算值之間的比較可以看出，該模型在恒流放電估算上精度較高。同時(shí)，從獲得的參數可以看出，該鉛酸蓄電池由于使用或者制造工藝問(wèn)題，名義容量已經(jīng)衰落為 4.007 Ah。

    3.2 確定閉環(huán)估算中的觀(guān)測方程

    根據前面分析，為實(shí)現卡爾曼濾波算法，必須得到如(9)式所示觀(guān)測方程?？紤]到蓄電池的開(kāi)路電壓和SOC的關(guān)系以及內阻和SOC的關(guān)系均可以使用多項式近似方法獲得，本文分別使用涓流放電和大電流間歇發(fā)電實(shí)驗得到實(shí)驗數據，再通過(guò)試驗數據采用多項式近似得到具體的函數表達式。

    首先，通過(guò)涓流放電實(shí)驗得到式中開(kāi)路電壓和SOC的關(guān)系曲線(xiàn)。蓄電池從充滿(mǎn)狀態(tài)，在C／20(0.2 A)放電電流下，持續到放電截止，記錄電壓曲線(xiàn)如圖1所示。涓流持續放電的目的是為了最小化蓄電池的動(dòng)態(tài)效應，有效消除蓄電池內部的化學(xué)滯后和蓄電池內阻的影響，從而得到Vcc和SOC的天系曲線(xiàn)。該曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)多項式近似，得到如表2所示Voc(Sk)函數表達式。

    然后，大電流間歇放電實(shí)驗得到內阻和SOC的關(guān)系曲線(xiàn)。放電循環(huán)執行如下流程：(1)10 min 2 A放電；(2)10 min停止放電，得到蓄電池負載電壓如圖2所示。同時(shí)圖2也給出了依據放電數據計算出的蓄電池內阻曲線(xiàn)。表2列出了R(sk)函數表達式。與實(shí)際蓄電池內阻比較，實(shí)驗所得內阻數值偏大，其主要原因是將測量和放電連接單元的電阻也視為內阻。由于所有數據均采集于同一實(shí)驗，這樣處理并不會(huì )對實(shí)驗產(chǎn)生影響。

    3.3 開(kāi)環(huán)估算性能

    為證明(7)式遞推估算模型在變電流放電過(guò)程中的SOC估算有效性，使用如圖3所示的變電流放電試驗數據進(jìn)行驗證，圖中給出了放電電流曲線(xiàn)和估算的SOC曲線(xiàn)。經(jīng)(7)式遞推計算得到，放電應該終止于4 608 s=76.8 min時(shí)刻，而實(shí)際放電試驗中，放電終止于5 004 s=83.4 min時(shí)刻，估算相對誤差為8.59％。為減小計算量，遞推過(guò)程中(7)式被截斷于m=5。

    3.4 閉環(huán)估算性能

    在引入反饋后，反饋將對原開(kāi)環(huán)系統產(chǎn)生影響。為分析反饋帶來(lái)的影響，依然采用圖3所示放電過(guò)程，利用閉環(huán)估算模型估算SOC數值，得到估算曲線(xiàn)如圖4所示。作為對照，圖4同時(shí)給出了開(kāi)環(huán)估算曲線(xiàn)。閉環(huán)估算過(guò)程相對于開(kāi)環(huán)估算，其平均絕對誤差為2.020 1％、均方根誤差為2.364 5％。結果表明閉環(huán)系統對原開(kāi)環(huán)系統的影響很小。同時(shí)，也證明了上文得到觀(guān)測方程方法的有效性。

    為了體現閉環(huán)反饋的實(shí)際應用意義，調整開(kāi)環(huán)估算中由于測量偏差導致的估算誤差。住電流測量過(guò)程中，人為的加入了均值為0.5、方差為1的測量偏差，使用開(kāi)環(huán)估算和閉環(huán)估算分別得到曲線(xiàn)如圖5所示。圖中作為參照的真實(shí)SOC曲線(xiàn)是無(wú)測量偏差情況下得到的開(kāi)環(huán)估算曲線(xiàn)。此時(shí)的閉環(huán)反饋估算的平均絕對誤差為 2.430 4％，均方根誤差為2.742 5％，依然保證了較高的估算精度，而開(kāi)環(huán)估算完全偏離了實(shí)際值。相比文獻中的模型，本文的閉環(huán)模型需要確定的參數少，對于蓄電池電路模型的依賴(lài)性低，運算過(guò)程簡(jiǎn)沽，不需要復雜的矩陣運算。使用三種估算方法對上述含有噪聲的數據進(jìn)行分析估計，得到如圖6所示絕對誤差曲線(xiàn)。

    4 結論

    使用基于電化學(xué)理論的電化學(xué)安時(shí)模型，實(shí)現對蓄電池SOC的在線(xiàn)估算，并針對電化學(xué)安時(shí)模型開(kāi)環(huán)估算的特性，構造卡爾曼濾波器算法的閉環(huán)系統，以減小測量偏差對估算精度的影響。實(shí)驗表明：

    (1)基于電化學(xué)理論的蓄電池動(dòng)態(tài)模型可以用于有效的蓄電池實(shí)時(shí)SOC估算。

    (2)將閉環(huán)反饋計算引人開(kāi)環(huán)的安時(shí)估算中，對原開(kāi)環(huán)估算精度沒(méi)有影響，且可以有效地修正由測量偏差引起的估算誤差。

    (3)通過(guò)涓流放電和大電流間歇放電獲取試驗數據和多項式近似的方式得到觀(guān)測方程，可以有效地應用于卡爾曼濾波器閉環(huán)反饋計算。